หางอ้วน (Fat tails) ทำไมวัน 5-sigma เกิดบ่อยกว่าที่กราฟระฆังบอกมาก

หางอ้วน (Fat tails) คือข้อเท็จจริงที่ว่าผลตอบแทนรายวันของราคาจริง มีวันที่ขยับแรงมาก ๆ บ่อยกว่าที่การกระจายแบบปกติ (กราฟระฆัง) ทำนายไว้หลายสิบถึงหลายพันเท่า สูตรความเสี่ยงที่ใช้การกระจายปกติจึงบอกว่าวันหายนะ “แทบไม่มีทางเกิด” ทั้งที่มันเกิดทุกไม่กี่ปี บทนี้คำนวณให้ดูว่าต่างกันแค่ไหน มันกระทบ Stop loss, leverage และระบบที่ชนะบ่อยยังไง แล้วจบด้วยกฎที่ใช้ได้จริง

5-sigma หมายถึงอะไร

σ (sigma) หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือขนาดการแกว่งปกติของผลตอบแทนรายวัน ถ้าคู่เงินแกว่งเฉลี่ยวันละ 0.5% วันที่ขยับ 1σ คือ 0.5% วัน 4σ คือ 2% และวัน 5σ คือ 2.5%

ถ้าผลตอบแทนกระจายแบบปกติจริง ความน่าจะเป็นของแต่ละขนาดถูกล็อกไว้ด้วยสูตร ยิ่งไกลจากศูนย์ ความน่าจะเป็นยิ่งหดเร็วมาก จนวัน 5σ แทบเป็นศูนย์ ปัญหาคือตลาดไม่ได้ทำตัวแบบนั้น

ตัวเลข: ปกติ เทียบกับหางอ้วน

เราเทียบการกระจายปกติกับ Student-t ซึ่งเป็นการกระจายที่มีหางหนากว่า ตัวเลข df (degrees of freedom) ยิ่งน้อย หางยิ่งหนา เราปรับให้ทุกแบบมี σ เท่ากันที่ 1 เพื่อเทียบกันตรง ๆ แล้วคำนวณด้วย node (อินทิเกรตเชิงตัวเลข และตรวจกับสูตรปิดของ t 3 df ได้ตรงกัน)

วิธีคิดเวลารอ: ความน่าจะเป็นที่วันหนึ่งขยับเกิน kσ ไม่ว่าขึ้นหรือลง = p ต่อวัน เวลารอเฉลี่ย = 1 ÷ (p × 252 วันเทรดต่อปี)

ตัวอย่างวัน 4σ แบบปกติ: p = 0.0000633 ดังนั้น 1 ÷ (0.0000633 × 252) = 62.7 ปี

ขนาดวัน	ปกติ: p ต่อวัน	ปกติ: รอเฉลี่ย	t 5 df: รอเฉลี่ย	t 3 df: รอเฉลี่ย
เกิน 3σ	0.27%	1.5 ปี	0.34 ปี	0.29 ปี
เกิน 4σ	0.0063%	63 ปี	1.1 ปี	0.64 ปี
เกิน 5σ	0.000057%	6,900 ปี	3.0 ปี	1.2 ปี
เกิน 6σ	0.0000002%	2 ล้านปี	6.9 ปี	2.1 ปี

วัน 5σ ตามสูตรปกติ ต้องรอราว 6,900 ปี แต่ถ้าหางหนาแบบ t 5 df รอแค่ราว 3 ปี ต่างกันกว่า 2,000 เท่า ส่วนวัน 10σ สูตรปกติให้เวลารอเป็นตัวเลขที่มี 21 หลัก ขณะที่ t 3 df ให้ราว 9.5 ปี

สังเกตแถว 3σ ในรูปแรก: ช่วงราว 0.7σ ถึง 2.55σ การกระจายหางอ้วนกลับมีวัน น้อยกว่า แบบปกติ ข้อมูลหางอ้วนจึงดูสงบเป็นส่วนใหญ่ ซึ่งทำให้คนประมาท

Kurtosis แบบภาษาคน

Kurtosis คือตัวเลขที่วัดว่าการกระจายมีหางหนาแค่ไหน การกระจายปกติมีค่า 3 หลายโปรแกรมรายงานเป็น excess kurtosis คือหัก 3 ออกแล้ว ปกติจึงเป็น 0

• Student-t 5 df มี kurtosis 9 (excess 6) เราตรวจด้วยการอินทิเกรตได้ค่าโมเมนต์ที่สี่ 8.99 ตรงกับสูตร
• Student-t 3 df มี kurtosis เป็นอนันต์ ตัวเลขที่วัดจากข้อมูลจะโตขึ้นเรื่อย ๆ ตามจำนวนวันที่เก็บ

ภาพที่ควรจำ: kurtosis สูงไม่ได้แปลว่า “ผันผวนกว่า” เพราะ σ เท่ากัน แต่แปลว่า ความผันผวนก้อนเดิมถูกจัดสรรใหม่ วันเงียบมากขึ้น วันกลาง ๆ น้อยลง และวันระเบิดใหญ่ขึ้น

ที่มาสำคัญอย่างหนึ่งคือความผันผวนเปลี่ยนไปตามช่วง ตัวอย่างคำนวณ: สมมติ 90% ของวันเป็นช่วงสงบ σ = 0.8 และ 10% เป็นช่วงตื่นตระหนก σ = 2 แต่ละช่วงกระจายแบบปกติเป๊ะ เมื่อรวมกัน kurtosis = 3 × (0.9 × 0.8⁴ + 0.1 × 2⁴) ÷ (0.9 × 0.8² + 0.1 × 2²)² = 3 × 1.9686 ÷ 0.976² = 6.2 คือหางอ้วนขึ้นมาทันที ทั้งที่ไม่มีส่วนไหนผิดปกติเลย เรื่องที่ความผันผวนชอบจับกลุ่มกันอ่านต่อได้ใน Volatility clustering

Mandelbrot และตัวอย่างในตลาดจริง

นักคณิตศาสตร์ Benoit Mandelbrot ตีพิมพ์งานในปี 1963 ชื่อ “The Variation of Certain Speculative Prices” โดยศึกษาราคาฝ้าย และชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงของราคามีหางหนากว่าการกระจายปกติมาก ตั้งแต่นั้นผลแบบเดียวกันถูกพบซ้ำในหุ้น ค่าเงิน และสินค้าโภคภัณฑ์ ส่วนคำว่า Black swan (หงส์ดำ) แพร่หลายจากหนังสือของ Nassim Nicholas Taleb ปี 2007 หมายถึงเหตุการณ์ที่หายาก ผลกระทบรุนแรง และคนอธิบายได้ดีเฉพาะหลังมันเกิดแล้ว

ตัวอย่างที่เทรดเดอร์ค่าเงินรู้จัก (ตัวเลขโดยประมาณ):

• 19 ต.ค. 1987 ดัชนี Dow Jones ร่วง 22.6% ในวันเดียว ถ้าความผันผวนรายวันปกติราว 1% นั่นคือวันประมาณ 20σ
• 15 ม.ค. 2015 ธนาคารกลางสวิส (SNB) ยกเลิกเพดานค่าเงินที่ EUR/CHF 1.20 ซึ่งตั้งไว้ตั้งแต่ปี 2011 โดยไม่บอกล่วงหน้า EUR/CHF ร่วงทะลุ 1.00 ภายในไม่กี่นาที หรือมากกว่า 15% บัญชีลูกค้าจำนวนมากติดลบ และโบรกเกอร์บางรายถึงขั้นล้ม
• 7 ต.ค. 2016 GBP/USD ร่วงราว 6% ภายในไม่กี่นาทีช่วงตลาดเอเชียที่สภาพคล่องบาง แล้วดีดกลับได้ส่วนใหญ่ เรียกกันว่า flash crash
• ส.ค. 2024 การรื้อ carry trade เงินเยน USD/JPY จากราว 161 ต้นเดือนกรกฎาคม ลงไปแถว 142 ในวันที่ 5 สิงหาคม และดัชนี Nikkei ร่วงกว่า 12% ในวันนั้น (Carry trade)

วันระดับ 20σ แบบปี 1987 สูตรปกติให้เวลารอเป็นตัวเลข 86 หลัก ยาวกว่าอายุจักรวาลมหาศาล ส่วน t 3 df ให้ราว 75 ปี ในตลาดจริง วันแรงระดับที่สูตรปกติบอกว่า “เป็นไปไม่ได้” โผล่มาทุกไม่กี่ปีในสินทรัพย์ไหนสักตัวเสมอ

ผลที่ 1: Stop loss กระโดดข้ามได้

Stop loss เป็นคำสั่งที่รอราคาแตะ เมื่อแตะแล้วจะกลายเป็นคำสั่งตลาดและปิดที่ราคาถัดไปที่มี ถ้าราคากระโดดข้ามระดับนั้น ทั้งตอนเปิดตลาดวันจันทร์ ตอนข่าว หรือตอนสภาพคล่องหาย ขาดทุนจริงจะมากกว่าที่ตั้งไว้ (ประเภทคำสั่ง)

ตัวอย่าง: ทุน 10,000 ดอลลาร์ เสี่ยง 1% = 100 ดอลลาร์ Stop loss 20 pips บนคู่ที่ 1 lot = 10 ดอลลาร์ต่อ pip เช่น EUR/USD

1. Lot = 100 ÷ (20 × 10) = 0.5 lot
2. ราคากระโดดไป 200 pips จากราคาเข้า ก่อนมีราคาให้ปิด
3. ขาดทุน = 0.5 × 10 × 200 = 1,000 ดอลลาร์ = 10% ของทุน ไม่ใช่ 1%

ความเสี่ยงต่อไม้จริงคือ “ขนาดไม้ × ช่องว่างที่เป็นไปได้” ไม่ใช่ “ขนาดไม้ × ระยะ Stop loss” อ่านเรื่องช่องว่างต่อใน ความเสี่ยงช่องว่างวันหยุด และ Slippage ตอนข่าว

ผลที่ 2: VaR ประเมินต่ำ ในจุดที่สำคัญที่สุด

VaR (Value at Risk) ตอบคำถามว่า “ขาดทุนต่อวันไม่เกินเท่าไหร่ ด้วยความมั่นใจ 99%” ปัญหาคือ VaR บอกแค่ประตู ไม่บอกว่าหลังประตูลึกแค่ไหน

ตัววัด (ฝั่งขาดทุน, หน่วย σ)	ปกติ	t 5 df	t 3 df
VaR 99%	2.33	2.61	2.62
VaR 99.9%	3.09	4.57	5.90
ขาดทุนเฉลี่ยในวันที่แย่กว่า VaR 99%	2.67	3.45	4.04

ที่ 99% ทั้งสามแบบห่างกันแค่ราว 12% คนจึงเชื่อว่าสูตรปกติ “ใช้ได้” แต่ที่ 99.9% t 3 df ไกลเกือบสองเท่า และขาดทุนเฉลี่ยในวันที่เลวร้ายที่สุด 1% (เรียกว่า Expected shortfall) ก็ใหญ่กว่าชัดเจน ความเสี่ยงที่ทำให้พอร์ตหมดอยู่ในส่วนที่ VaR ไม่ได้มอง

ผลที่ 3: Leverage บวกหางอ้วน คือทางลัดไปศูนย์

Effective leverage คือมูลค่าสัญญาทั้งหมด ÷ ทุน ขาดทุนเป็น % ของทุน = leverage × % ที่ราคาขยับ

Leverage ที่ใช้จริง	ราคาขยับ 2%	6% (แบบ GBP 2016)	15% (แบบ CHF 2015)
5 เท่า	−10%	−30%	−75%
10 เท่า	−20%	−60%	−150%
20 เท่า	−40%	−120%	−300%
30 เท่า	−60%	−180%	−450%

ตัวเลขเกิน −100% แปลว่าบัญชีติดลบ ในวันแบบนั้น Stop out ก็ปิดไม่ทันเพราะไม่มีราคาระหว่างทางให้ปิด การคุ้มครองยอดติดลบ (negative balance protection) มีหรือไม่ขึ้นกับโบรกเกอร์และกฎของแต่ละประเทศ ต้องเช็กในเงื่อนไขบัญชีเอง กลไก Margin และ Stop out อ่านได้ใน Leverage, Margin และ Stop out

หางอ้วนไม่ได้ทำให้ขาดทุนบ่อยขึ้น มันทำให้ขาดทุนครั้งใหญ่ใหญ่กว่าที่คิด และ leverage คือตัวคูณของครั้งนั้น

ผลที่ 4: เก็บเศษเหรียญหน้ารถบดถนน

มีสำนวนว่า “picking up pennies in front of a steamroller” หมายถึงกลยุทธ์ที่เก็บกำไรเล็ก ๆ สม่ำเสมอ แลกกับความเสี่ยงหางที่น้อยครั้งแต่บดขยี้ ตัวอย่างคือการขายออปชันไกลราคา Grid และ Martingale (Grid และ Martingale)

เราจำลองด้วย node แบบง่ายที่สุด:

• ทุกวันผู้ขาย “ประกัน” รับค่าพรีเมียมเล็ก ๆ ก้อนเดียว
• ถ้าวันนั้นราคาขยับเกิน 2.5σ ผู้ขายจ่ายส่วนที่เกิน 2.5σ
• ผู้ขายตั้งราคาพรีเมียมไว้ 1.5 เท่าของค่าที่ยุติธรรมตามสูตรปกติ คือคิดว่าตัวเองได้เปรียบ 50%
• จำลอง 2,520 วัน (10 ปี) 10,000 เส้นทาง ด้วยผลตอบแทนแบบปกติ และแบบ Student-t 5 df ที่ σ เท่ากัน

ผลลัพธ์ (หน่วย = พรีเมียม 1 วัน):

	โลกปกติ	โลกหางอ้วน t 5 df
วันที่ไม่ต้องจ่าย (ชนะ)	98.8%	97.7%
ค่าจ่ายเฉลี่ยต่อวัน	0.67	3.19
ผลรวม 10 ปีที่คาดไว้	+840	−5,500
เส้นทางที่จบติดลบ	2.7%	100%
วันที่แย่ที่สุด (ค่ามัธยฐาน)		กินพรีเมียม 753 วัน

ค่าจ่ายเฉลี่ยในโลกหางอ้วนสูงกว่าที่สูตรปกติคิด 4.78 เท่า ถ้าใช้ t 3 df จะสูงถึง 7.74 เท่า ส่วนอัตราชนะรายวันแทบไม่ต่างกัน ซึ่งเป็นเหตุผลที่ดูจากอัตราชนะแล้วจะไม่มีทางเห็นปัญหา

ในตลาดออปชันจริง ผู้ค้าคิดราคาออปชันไกลราคาแพงกว่าสูตรปกติอยู่แล้ว เห็นได้จาก volatility smile (FX options และ Implied volatility) ตัวอย่างนี้จึงไม่ได้บอกว่าการขายออปชันขาดทุนเสมอ แต่แสดงว่าใครก็ตามที่ประเมินความเสี่ยงด้วยความคิดแบบระฆังปกติ จะตั้งราคาความเสี่ยงหางถูกเกินไปหลายเท่า Grid ที่ไม่มี Stop loss ก็คือการขายประกันแบบนี้โดยไม่ได้คิดราคาเลย

กฎที่ใช้ได้จริง

1. คิดขนาดไม้จากช่องว่าง ไม่ใช่จาก Stop loss อย่างเดียว ตั้งเพดานว่ายอมเสียได้เท่าไหร่ถ้าราคากระโดด เช่น 5% ของทุน แล้วประเมินช่องว่างที่เป็นไปได้ เช่น 300 pips บนทุน 10,000 ดอลลาร์ ขนาดไม้สูงสุด = 500 ÷ (300 × 10) ≈ 0.166 lot ถ้า Stop loss อยู่ที่ 20 pips ไม้นี้เสี่ยงปกติแค่ 0.166 × 10 × 20 ≈ 33 ดอลลาร์ หรือ 0.33% ซึ่งต่ำกว่า 1% ที่คุ้นเคย และนั่นคือราคาของการรอดวันหายาก
2. หลีกเลี่ยงโครงสร้างที่ขาดทุนได้ไม่จำกัด เช่น Grid หรือ Martingale ไม่มี Stop loss รวม หรือขายออปชันแบบไม่มีขาป้องกัน ถ้าบอกไม่ได้ว่าวันที่แย่ที่สุดเสียได้สูงสุดเท่าไหร่ อย่าเปิด
3. จำกัด effective leverage ดูจากตาราง leverage 10 เท่าบวกกับวันแบบ CHF ปี 2015 คือบัญชีติดลบ ตั้งเพดานจากวันเลวร้ายที่เคยเกิดในตลาดนั้น ไม่ใช่จากวันปกติ
4. ลดขนาดก่อนช่วงที่ช่องว่างมีโอกาสสูง ถือข้ามสุดสัปดาห์ ก่อนข่าวใหญ่ ก่อนประชุมธนาคารกลาง หรือในคู่เงินที่มีการตรึงค่า เพราะเมื่อตรึงไว้นาน วันที่ปล่อยมักกระโดดแรง
5. ทดสอบระบบด้วยวันเลวร้ายจริง ใส่ช่องว่าง 10σ ลงไปใน backtest หรือ Monte Carlo แล้วดูว่าพอร์ตรอดไหม ถ้าไม่รอด ระบบนั้นแค่ยังไม่เจอวันของมัน

คำถามที่ถูกไม่ใช่ “วันแบบนี้จะเกิดไหม” แต่คือ “ถ้ามันเกิดพรุ่งนี้ ฉันยังเทรดต่อได้ไหม”

ความเสี่ยงที่จะพอร์ตหมดในระยะยาวคำนวณต่อได้ใน Risk of ruin

ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อย

• เชื่อ σ ว่าเป็นเพดาน σ คือขนาดเฉลี่ย ไม่ใช่ขอบเขต วัน 5σ ถึง 10σ เกิดขึ้นจริงในทุกตลาด
• วัด σ จากช่วงสงบ ช่วงที่ผ่านมาสงบ σ ก็เล็ก วันระเบิดถัดไปจะดูเป็น “10σ” ทั้งที่ช่วงสงบต่างหากที่ผิดปกติ
• ดูอัตราชนะแล้ววางใจ ในการจำลองข้างบน ชนะ 97.7% ของวัน แต่ขาดทุนทุกเส้นทาง อัตราชนะไม่บอกอะไรเกี่ยวกับหาง (อัตราชนะ vs จุดคุ้มทุน)
• คิดว่า Stop loss คือเพดานขาดทุน มันคือเพดานในวันที่มีราคาต่อเนื่อง ในวันที่ราคากระโดด มันคือแค่คำสั่งตลาด
• ใช้ backtest สั้น ๆ เป็นหลักฐานว่าปลอดภัย สามปีที่ไม่มีหงส์ดำ ไม่ได้แปลว่าระบบรับหงส์ดำได้ แค่ยังไม่เจอ