Pairs Trading และ Cointegration: เทรดส่วนต่างของสองตัว ทำไม Correlation ไม่พอ

Pairs trading คือการเทรด ส่วนต่าง ระหว่างสองสินทรัพย์ที่ปกติเดินไปด้วยกัน เมื่อส่วนต่างถ่างออกผิดปกติ ก็ขายตัวที่แพงกว่าและซื้อตัวที่ถูกกว่าพร้อมกัน แล้วรอให้ส่วนต่างกลับมา เป็นกลยุทธ์กลุ่ม Statistical arbitrage ที่นิยมเขียนเป็น EA เพราะกติกาเป็นตัวเลขล้วน บทนี้อธิบายกลไกทีละขั้น ตั้งแต่เหตุผลที่ Correlation ไม่พอ วิธีหา hedge ratio, z-score และ half-life ไปจนถึงสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อความสัมพันธ์พัง ตัวเลขทุกตัวมาจากราคาสมมติที่เราคำนวณด้วยสคริปต์ ไม่ใช่ตลาดจริง

Pairs trading ได้เงินจากอะไร

ไม้เดียวมีสองขาเสมอ เช่น Sell B 1 หน่วย คู่กับ Buy A จำนวน β หน่วย ถ้าตลาดทั้งก้อนขึ้นหรือลง สองขาหักล้างกันเป็นส่วนใหญ่ สิ่งที่เหลือคือกำไรขาดทุนจาก spread หรือส่วนต่างที่ปรับสัดส่วนแล้ว

spread = ราคา B − α − β × ราคา A

ถ้าสองตัวนี้มีเหตุผลทางเศรษฐกิจที่ผูกกันจริง spread จะแกว่งรอบค่าเฉลี่ย ถ่างออกแล้วถูกดึงกลับ คนเทรดจึงไม่ได้เดาว่าตลาดไปทางไหน แต่เดาว่า “ส่วนต่างจะกลับมา” ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ต้องพิสูจน์ ไม่ใช่สิ่งที่เป็นจริงเสมอ

งานวิจัยที่คนมักอ้างถึงคือ Gatev, Goetzmann และ Rouwenhorst (2006) ซึ่งทดสอบการจับคู่หุ้นสหรัฐฯ ที่ราคาเดินคล้ายกันในอดีต และเปิดสถานะเมื่อส่วนต่างถ่างเกินสองเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งเป็นที่มาของกติกา ±2 ที่ใช้กันทั่วไป

Correlation ไม่พอ ต้องเป็น Cointegration

ใน บทเรื่อง Correlation เราบอกว่าต้องวัดจากผลตอบแทนรายแท่ง ไม่ใช่จากเส้นราคา สำหรับการคุมความเสี่ยงพอร์ต นั่นถูกต้อง แต่สำหรับ pairs trading คำถามเปลี่ยนไป เราไม่ได้ถามว่า “สองตัวขยับพร้อมกันวันนี้ไหม” เราถามว่า “ถ้าห่างกันแล้ว จะกลับมาไหม”

• Correlation สูง = รายแท่งมักขยับทางเดียวกัน แต่ความต่างเล็ก ๆ ที่สะสมทุกวันอาจพาสองตัวห่างกันไปเรื่อย ๆ ไม่มีอะไรดึงกลับ
• Cointegration = ราคาแต่ละตัวเดินแบบสุ่มได้ แต่มีสัดส่วน β ที่ทำให้ spread กลับหาค่าเฉลี่ย (mean reversion) คิดภาพคนจูงหมาเดินเล่น ทั้งคู่เดินไปไหนก็ได้ แต่สายจูงทำให้ห่างกันได้ไม่ไกล

เราสร้างราคาสมมติ 500 แท่ง ราคา A เป็น random walk แล้วสร้างราคา B สองแบบจาก A ชุดเดียวกัน แบบแรกบวก spread ที่มีแรงดึงกลับหาศูนย์ แบบที่สองบวก random walk ที่ไม่มีแรงดึงกลับ

1. Correlation ของผลตอบแทนรายแท่งระหว่าง A กับ B ได้ 0.79 (แบบแรก) และ 0.75 (แบบที่สอง) แทบเท่ากัน
2. แต่ spread ของแบบแรกแกว่งอยู่ระหว่าง −2.57 ถึง +2.94 ตลอด 500 แท่ง ส่วนแบบที่สองไปไกลถึง −10.62

ถ้าเลือกคู่จาก Correlation อย่างเดียว ทั้งสองคู่ผ่านเหมือนกัน แต่คู่ที่สองไม่มีอะไรรับประกันว่า spread จะกลับมาเลย

หา hedge ratio ด้วย regression

Hedge ratio (β) คือจำนวนหน่วยของ A ที่ใช้คู่กับ B 1 หน่วย วิธีพื้นฐานคือ regression แบบ OLS (Ordinary Least Squares หาเส้นตรงที่ใกล้ทุกจุดที่สุด) ของราคา B บนราคา A

B = α + β × A + ส่วนที่เหลือ

ส่วนที่เหลือนั่นแหละคือ spread ของเรา ต้องทำในช่วงข้อมูลหนึ่ง (ช่วงหาค่า) แล้วเอา β ไปใช้กับข้อมูลที่ตามมา ห้ามคำนวณ β จากข้อมูลทั้งหมดแล้วย้อนไปทดสอบ เพราะนั่นคือการแอบดูอนาคต อ่านเรื่องนี้เพิ่มได้ที่ อินดิเคเตอร์ repaint และ look-ahead

ข้อควรรู้สองเรื่อง

• β ที่ได้เป็นค่าประมาณ ในตัวอย่างนี้เราใส่ค่าจริงไว้ 0.8 แต่ regression จาก 250 แท่งได้ 0.854 ข้อมูลจริงคลาดได้มากกว่านี้
• regression B บน A กับ A บน B ให้ β และผลทดสอบไม่เท่ากัน ต้องเลือกแบบหนึ่งแล้วใช้ให้คงที่

ทดสอบ Cointegration แบบ Engle–Granger สองขั้น

แนวคิดนี้มาจาก Engle และ Granger (1987) ทำเป็นสองขั้น

1. Regression หา α และ β แล้วคำนวณ spread
2. ทดสอบว่า spread กลับหาค่าเฉลี่ยไหม โดยดูว่าแท่งที่ spread อยู่สูง แท่งถัดไปมักลดลงไหม ใช้สมการ Δspread = b × spread แท่งก่อน ถ้า b ติดลบชัดเจน แปลว่ามีแรงดึงกลับ ค่าที่ใช้ตัดสินคือ t-stat ของ b (การทดสอบแบบ Dickey–Fuller)

จุดที่คนพลาดบ่อย ค่าวิกฤตของขั้นที่สอง ไม่ใช่ ค่าเดียวกับการทดสอบ Dickey–Fuller ทั่วไป เพราะ spread ถูกสร้างจาก β ที่ regression เลือกมาให้ดูนิ่งที่สุดแล้ว ต้องใช้ตาราง Engle–Granger (ของ MacKinnon) ซึ่งสำหรับสองตัวแปรที่ระดับ 5% อยู่ราว −3.34 ไม่ใช่ราว −2.86 ของการทดสอบเดี่ยว ไลบรารีสถิติส่วนใหญ่มีฟังก์ชันทดสอบนี้ให้พร้อมค่าวิกฤตที่ถูกต้อง

ผลจากตัวอย่างของเรา (ช่วงหาค่า 250 แท่ง)

• คู่ที่ cointegrated: b = −0.2071, t = −5.33 ต่ำกว่า −3.34 ผ่าน
• คู่ที่แค่ correlated: t = −1.73 ไม่ผ่าน

การทดสอบนี้ผิดได้ทั้งสองทาง เราจำลองซ้ำ 1,000 ชุดด้วยกติกาเดียวกัน คู่ที่ cointegrated ผ่าน 99.9% ส่วนคู่ที่ไม่ใช่ ก็ยังผ่านโดยบังเอิญ 4.3% ใกล้กับ 5% ที่ระดับนัยสำคัญยอมให้ผิด ถ้าไล่ทดสอบ 100 คู่ จะมีคู่หลอกหลุดมาได้หลายคู่ เป็นปัญหาเดียวกับใน การทดสอบหลายครั้ง (data snooping)

Half-life: spread กลับมาเร็วแค่ไหน

แบบจำลองที่ใช้กันคือ Ornstein–Uhlenbeck อธิบายง่าย ๆ คือ ทุกแท่ง spread ถูกดึงกลับหาค่าเฉลี่ยเป็นสัดส่วนคงที่ของระยะห่าง บวกกับแรงสุ่ม ยิ่งห่างมาก แรงดึงยิ่งมาก เหมือนสปริง

Half-life คือจำนวนแท่งที่ระยะห่างโดยเฉลี่ยลดลงครึ่งหนึ่ง คำนวณจาก b ในขั้นที่สองได้เลย

half-life = −ln 2 ÷ ln(1 + b)

ตัวอย่างของเรา b = −0.2071 ได้ −0.6931 ÷ ln(0.7929) = −0.6931 ÷ (−0.2320) = 3.0 แท่ง (ค่าจริงที่เราใส่ไว้คือ 4.3 แท่ง ใน 1,000 ชุดจำลอง ค่ากลางที่ประมาณได้คือ 3.7 การประมาณจาก spread ที่ regression ปรับมาแล้วมักเห็นแรงดึงกลับเร็วกว่าความจริง)

ใช้ half-life ทำอะไร

• เลือก timeframe half-life 3 แท่งของ H1 คือไม่กี่ชั่วโมง ของ D1 คือหลายวัน ซึ่งมีค่า swap ตามมา
• ตั้ง time stop ถ้าถือนานเกินหลายเท่าของ half-life แล้ว spread ยังไม่กลับ นั่นคือสัญญาณว่าพฤติกรรมเปลี่ยน (เป็นหลักคิด ไม่ใช่ตัวเลขที่เราทดสอบในบทนี้)
• ถ้า half-life ยาวมากเทียบกับข้อมูลที่มี เช่น 100 แท่งจากข้อมูล 250 แท่ง ผลทดสอบแทบไม่มีความหมาย

กติกา z-score: เข้า ±2 ออกที่ 0

z-score บอกว่า spread อยู่ห่างค่าเฉลี่ยกี่เท่าของ SD (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

z = (spread − ค่าเฉลี่ย) ÷ SD

กติกาพื้นฐาน ค่าเฉลี่ยและ SD มาจากช่วงหาค่าเท่านั้น

• z ≥ +2 → Sell spread คือ Sell B 1 หน่วย Buy A β หน่วย
• z ≤ −2 → Buy spread คือ Buy B 1 หน่วย Sell A β หน่วย
• ออกเมื่อ z กลับถึง 0
• Stop เมื่อ |z| ≥ 4 แล้วหยุดเทรดคู่นี้จนกว่าจะทดสอบใหม่

ตัวอย่างคำนวณทีละขั้น

ราคาสมมติ 500 แท่ง ใช้ 250 แท่งแรกหาค่า แล้วทดลองเทรด 250 แท่งหลัง ต้นทุน 0.04 ต่อหน่วยต่อขาต่อรอบ (เข้าและออก)

1. Regression ได้ α = 5.137 และ β = 0.8541 ค่าเฉลี่ยของ spread ≈ 0 และ SD = 0.7745
2. แท่ง 278 ราคา B = 80.383 ราคา A = 85.021 spread = 80.383 − 5.137 − 0.8541 × 85.021 = 80.383 − 5.137 − 72.616 = 2.630 z = 2.630 ÷ 0.7745 = 3.40 (แท่งก่อนหน้า z = 1.79 แล้วกระโดดข้าม 2 ในแท่งเดียว)
3. z ≥ 2 จึง Sell B 1 หน่วยที่ 80.383 และ Buy A 0.8541 หน่วยที่ 85.021
4. แท่ง 293 z = −1.04 ข้าม 0 แล้ว ปิดทั้งสองขาที่ B = 75.627 และ A = 83.481
5. ขา B: 80.383 − 75.627 = +4.756 ขา A: 0.8541 × (83.481 − 85.021) = 0.8541 × (−1.540) = −1.315 รวมก่อนต้นทุน = 4.756 − 1.315 = +3.44
6. ต้นทุน = 0.04 × (1 + 0.8541) = 0.074 สุทธิ +3.37

สังเกตว่าขา A ขาดทุน แต่ขา B ได้มากกว่า กำไรมาจากส่วนต่างที่หดลง ไม่ได้มาจากการเดาทิศตลาด

ทั้งช่วงทดลอง ได้ 8 ไม้ กำไรก่อนต้นทุนรวม 18.78 ต้นทุน 8 × 0.074 = 0.59 สุทธิ +18.19 หน่วยราคาต่อ B 1 หน่วย ชนะครบ 8 ไม้ เพราะข้อมูลนี้เราสร้างให้ cointegrated จริงตลอด ตลาดจริงไม่ได้สะอาดแบบนี้

เมื่อความสัมพันธ์พัง

ความสัมพันธ์ของสองสินทรัพย์มาจากเหตุผลทางเศรษฐกิจ และเหตุผลนั้นเปลี่ยนได้ (structural change) เช่น ธนาคารกลางสองประเทศเริ่มเดินนโยบายดอกเบี้ยคนละทาง สินค้าส่งออกหลักของประเทศหนึ่งราคาเปลี่ยนแรง หรือบริษัทหนึ่งในคู่หุ้นถูกซื้อกิจการ อ่านเพิ่มเรื่อง ตลาดเปลี่ยนสภาพ

เราใช้ราคาชุดเดิมทุกแท่ง แต่ตั้งแต่แท่ง 330 ให้ spread เลื่อนขึ้นทีละ 0.06 ต่อแท่ง (ความสัมพันธ์เดิมพัง) แล้วใช้กติกาเดิม

• ไม่มี stop สองไม้แรกยังได้กำไร แต่ไม้ที่สามเปิด Sell spread ที่แท่ง 341 (z = 2.18) แล้ว spread ไม่กลับอีกเลย ถึงแท่ง 499 z = 12.64 ไม้นี้ขาดทุน −8.17 equity จากจุดสูงสุด +5.25 จบที่ −3.08 ที่น่าสนใจคือขาดทุนส่วนใหญ่มาจากขา A ที่ร่วง 8.76 แต่ B ไม่ตามลงมา
• มี stop ที่ |z| = 4 ไม้ที่สามโดนปิดที่แท่ง 355 แต่ z กระโดดไปถึง 4.70 ในแท่งเดียว ขาดทุน −2.03 มากกว่าที่วางแผนไว้ราว (4 − 2) × 0.7745 = 1.55 แล้วหยุดเทรด จบที่ +3.07
• ในชุดที่ความสัมพันธ์ไม่พัง stop เดียวกันไม่ถูกแตะเลย ผลยังเป็น +18.19

ผลจากจำลองซ้ำ 1,000 ชุดด้วยกติกาเดียวกัน (สุทธิหลังต้นทุน หน่วยราคาต่อ B 1 หน่วย)

สถานการณ์	ค่าเฉลี่ย	ชุดที่ขาดทุน	แย่สุด
คงที่ ไม่มี stop	+10.38	0.3%	−0.94
คงที่ มี stop z ±4	+9.15	2.9%	−2.24
พัง ไม่มี stop	−4.19	92.6%	−11.46
พัง มี stop z ±4	+2.05	19.2%	−3.45
ไม่ cointegrated ตั้งแต่ต้น	−0.56	47.6%	−33.45

Stop มีต้นทุน ในช่วงที่ความสัมพันธ์ดี มันตัดไม้ที่จะกลับมาได้บ้าง แต่ในช่วงที่พัง มันคือสิ่งเดียวที่กันไม่ให้ไม้เดียวกินกำไรทั้งหมด และไม่มีใครรู้ล่วงหน้าว่าตอนนี้อยู่ช่วงไหน

ทั้งหมดนี้เป็นข้อมูลสังเคราะห์ที่เรากำหนดกลไกเอง ตัวเลขบอกทิศทางของผล ไม่ได้บอกว่าตลาดจริงจะได้เท่านี้ และผลในอดีตไม่ได้บอกอนาคต

แถวสุดท้ายสำคัญ คู่ที่ไม่ cointegrated เฉลี่ยแทบเท่าศูนย์ แต่บางชุดเสียหนักมาก กติกาเดียวกันดูดีหรือแย่ขึ้นกับว่าสมมติฐานจริงไหม ไม่ได้ขึ้นกับตัวกติกา

ต้นทุนของสองขา

ทุกไม้ของ pairs trading คือสองไม้ ต้นทุนจึงมาเป็นคู่

• Spread สองครั้ง ต่อรอบ ดู ต้นทุน spread ต่อไม้
• Swap สองขา ข้างหนึ่งอาจได้ อีกข้างอาจเสีย ผลสุทธิแล้วแต่ดอกเบี้ยของแต่ละสกุลและโบรกเกอร์ ดู ค่า swap ข้ามคืน
• Margin สองขา บางที่คิด margin ลดลงเมื่อถือสถานะหักล้างกัน บางที่ไม่ ต้องดู contract specification ของบัญชีตัวเอง
• ความเสี่ยงจากการส่งคำสั่งไม่พร้อมกัน ขาแรกเข้าแล้ว ขาที่สองราคาขยับก่อน กำไรที่คำนวณไว้หายไปบางส่วน

กำไรต่อไม้ของกลยุทธ์นี้มักเล็ก ในตัวอย่างของเรา เฉลี่ยไม้ละ 2.35 ก่อนต้นทุน

ต้นทุนต่อหน่วยต่อขา	ต้นทุนต่อไม้	ต้นทุนรวม 8 ไม้	สุทธิ
0.04	0.074	0.59	+18.19
0.25	0.46	3.71	+15.07
0.50	0.93	7.42	+11.37

ที่ต้นทุน 0.50 ต้นทุนกินไปราว 40% ของกำไรก่อนต้นทุน ยิ่งตั้ง threshold ใกล้ เช่น ±1 จะได้ไม้ถี่ขึ้น แต่กำไรต่อไม้เล็กลง และต้นทุนสัดส่วนสูงขึ้น

ตัวอย่างใน Forex: AUDUSD กับ NZDUSD

AUDUSD กับ NZDUSD เป็นคู่ที่มักถูกยกเป็นตัวอย่าง เพราะเศรษฐกิจออสเตรเลียกับนิวซีแลนด์ใกล้กันทั้งภูมิศาสตร์และคู่ค้า แต่ไม่ได้แปลว่าตอนนี้ cointegrated ความสัมพันธ์แบบนี้อ่อนลงหรือหายไปได้เมื่อนโยบายดอกเบี้ยของสองประเทศแยกทางกัน ต้องทดสอบเองจากข้อมูลล่าสุด

ถ้าจะทดสอบ

1. ใช้ราคาปิดช่วงเดียวกันเป๊ะของทั้งสองคู่ จาก timeframe เดียวกัน
2. Regression AUDUSD บน NZDUSD ในช่วงหาค่า ได้ β แล้วทดสอบ spread แบบ Engle–Granger
3. ทั้งสองคู่ quote เป็นดอลลาร์ และ 1 lot เท่ากับ 100,000 หน่วยสกุลหน้า กำไรขาดทุนต่อจุดราคาจึงเท่ากันต่อ lot สัดส่วนจำนวน lot จึงเท่ากับ β ได้ตรง ๆ คือ AUDUSD 1 lot ต่อ NZDUSD β lot คู่ที่ quote คนละสกุลต้องแปลงมูลค่าก่อน
4. ทดสอบต่อแบบ out-of-sample หรือ walk-forward แล้วทดสอบ cointegration ซ้ำเป็นระยะ

อีกทางคือเทรด AUDNZD ตรง ๆ ซึ่งราคาเท่ากับ AUDUSD ÷ NZDUSD จ่าย spread ครั้งเดียว แต่สัดส่วนจะถูกล็อกไว้แบบมูลค่าเท่ากัน ไม่ใช่ β จาก regression

คุมความเสี่ยงอย่างไร

• วัดความเสี่ยงจาก spread ไม่ใช่จากขาใดขาหนึ่ง ระยะ stop คือ (z ของ stop − z ตอนเข้า) × SD ตัวอย่างนี้ (4 − 2) × 0.7745 = 1.55 หน่วยราคาต่อ B 1 หน่วย แล้วคำนวณขนาดไม้ให้ขาดทุนตรงนั้นไม่เกินที่ตั้งไว้ เช่น 1% ด้วย เครื่องคำนวณ lot
• เผื่อกระโดดข้าม stop ตัวอย่างข้างบนเสีย 2.03 แทน 1.55 ในวันข่าวอาจไกลกว่านี้
• นับเป็นเดิมพันเดียว ถ้าถือหลายคู่ที่มีสกุลร่วมกัน เช่น หลายคู่ที่มี AUD ความเสี่ยงซ้อนกันตามที่อธิบายใน บทเรื่อง Correlation
• ทดสอบ β และ cointegration ใหม่ตามรอบ ถ้าไม่ผ่านแล้ว หยุดเทรดคู่นั้น ไม่ใช่เปลี่ยน threshold ให้ดูดี

ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อย

• เลือกคู่จาก Correlation ตัวเลขสูงไม่ได้แปลว่าส่วนต่างจะกลับมา
• หา β และ SD จากข้อมูลทั้งหมด แล้วย้อนทดสอบในช่วงเดียวกัน ผลจะดีเกินจริง เพราะ spread ถูกปรับให้ดูนิ่งที่สุดในช่วงนั้นแล้ว
• ใช้ค่าวิกฤต Dickey–Fuller ทั่วไป ทำให้คู่ที่ไม่ใช่หลุดผ่านง่ายขึ้น
• ไล่ทดสอบหลายร้อยคู่แล้วเลือกคู่ที่ดีที่สุด โดยไม่ทดสอบต่อนอกช่วง จะได้คู่หลอกปนมา
• ไม่มี stop เพราะเชื่อว่า “ต้องกลับแน่” ความสัมพันธ์ที่พังคือจุดที่บัญชีเสียหนักที่สุด ไม่ต่างจาก การถัวขาดทุน
• ลืมต้นทุนขาที่สอง คิด spread และ swap แค่ขาเดียว
• คิดว่าถือสองขาแล้วไม่มีความเสี่ยง ความเสี่ยงยังอยู่ แค่ย้ายจากทิศตลาดไปอยู่ที่ spread ดู การ hedge ไม้ที่ขาดทุน ประกอบ